Список рассылки семинара

У семинара есть список рассылки на сервере googlegroups.com, который называется homotopy. (Чтобы получить email, надо переставить имена и вставить символ @.) У списка рассылки есть домашняя страница, где можно найти полный архив сообщений.

Зима 2009–2010

Струнная топология

Список докладов семинара

24 декабря 2009 года, 16:00, аудитория 502, Дмитрий Павлов.
Краткий обзор струнной топологии.
29 декабря 2009 года, 17:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов и Александр Иванов.
Повтор обзора струнной топологии. Структура алгебры Баталина-Вилковыского на гомологиях пространства петель.
31 декабря 2009 года, 15:00, аудитория 311, Александр Иванов и Дмитрий Павлов.
Структура алгебры Баталина-Вилковыского на гомологиях пространства петель. Гомотопический взгляд на струнную топологию.
2 января 2010 года, 15:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов.
Струнная гомология как гомология кольцевого спектра.
4 января 2010 года, 17:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов и Сергей Иванов.
Операда кактусов. Когомологии Хохшильда.
6 января 2010 года, 18:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов и Александр Иванов.
Действие операды кактусов на петлевом спектре. Связь струнных гомологий с когомологиями Хохшильда.

Участники семинара

Описание семинара

В 1999 году Chas и Sullivan показали, что сдвинутые гомологии гладкого пространства свободных петель гладкого ориентированного многообразия обладают естественной структурой алгебры Баталина-Вилковыского. Эта работа дала начало целой области — струнной топологии (string topology). На семинаре будут рассмотрены различные подходы к этой области — оригинальный подход, гомотопический подход (Cohen и Jones), подход Воронова, основанный на операде кактусов, изоморфизм с когомологиями Хохшильда алгебры коцепей, связь с топологической конформной теорией поля, гомологиями Флоера, а также топология бран — многомерное обобщение струнной топологии.

Литература

Лето 2009

«Производная геометрия и операды»

Список докладов семинара

18 июня 2009 года, 12:00, аудитория 318, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Введение в производную геометрию.
19 июня 2009 года, 12:00, аудитория 311, Константин Пименов. Видеозапись лекции.
Виды структур (species), операции над ними, подстановка (Day convolution), приложение: определение операд и алгебраических монад. Примеры операд. Плетизм.
23 июня 2009 года, 12:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Аксиоматический подход к гладкой производной геометрии.
26 июня 2009 года, 12:00, аудитория 311, Константин Пименов. Видеозапись лекции.
Интерпретация подстановочного произведения в терминах модулей. Алгебраические монады. Свободные операды.
30 июня 2009 года, 12:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Производные кобордизмы и теорема о чашечном произведении.
3 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Иванов. Видеозапись лекции.
Двойственность Кошуля для квадратичных операд.
7 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Павлов. Видеозапись лекции.
Гладкие симплициальные кольца. Гомотопические пучки и гипернакрытия.
10 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Иванов и Константин Пименов. Видеозапись лекции.
Моноидальные структуры на квадратичных операдах. Связь операд и пространств петель по Сигалу.
14 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Павлов. Видеозапись лекции.
Гомотопические пучки и гипернакрытия. Конструкция модельной категории производных гладких многообразий.
17 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Константин Пименов. Видеозапись лекции.
Операды как монады и монады как операды. Операда Фултона-МакФёрсона.
21 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Павлов. Видеозапись лекции.
Кокасательный комплекс производного гладкого многообразия.
24 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Сергей Иванов. Видеозапись лекции.
Операда A∞ и всё такое.
27 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Сергей Иванов. Видеозапись лекции.
Операда A∞ и всё такое.
28 июля 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Павлов. Видеозапись лекции.
Теория пересечений на гладких производных многообразиях.
4 августа 2009 года, 12:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
∞-категории (квазикатегории).
7 августа 2009 года, 16:00, аудитория 311, Дарья Романова. Видеозапись лекции.
A∞-алгебры.
11 августа 2009 года, 16:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Стабильные ∞-категории: основные свойства, триангулированная структуры, производная категория абелевой категории.
14 августа 2009 года, 12:00, аудитория 311, Александр Иванов. Видеозапись лекции.
Производная категория A∞-модулей. Восстановления комплекса по его когомологиям. Восстановление категории модулей с заданной фильтрацией.
18 августа 2009 года, 16:00, аудитория 311, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Стабильные ∞-категории: t-структуры, локализация, спектры.
21 августа 2009 года, 16:00, аудитория 311, Александр Павлов. Видеозапись лекции.
Модельная структура на категории операд.

Участники семинара

Часть 1: Производная геометрия

Производная геометрия в настоящее время является активно развивающимся разделом математики. В контексте алгебраической геометрии переход к производным схемам означает, что мы расширяем категорию обычных колец до категории кольцевых спектров. Таким образом, мы можем исследовать алгебро-геометрическими методами такие объекты, как спектр Эйленберга-Мак Лейна, спектр К-теории, спектр Тома в теории бордизмов, а также спектры других мультипликативных теорий когомологий. В частности, в рамках этой теории можно дать концептуальное определение топологических модулярных форм. Теория пересечений получает в производной алгебраической геометрии более простую и более общую формулировку. В частности, оказывается, что формула Серра, выражающая кратность пересечения как альтернированную сумму размерностей функторов Tor от локальных колец в точке пересечения является упрощённой версией соответствующей формулы в производной алгебраической геометрии. Теория производных алгебраических многообразий в последнее время активно развивается Джэйкобом Лури, статьи которого планируется рассмотреть на семинаре.

Существует также категория производных гладких многообразий, разработанная Дэйвидом Спиваком. Категория производных гладких многообразий обладает многими свойствами, которых нет у обычной категории — например, в ней есть все расслоенные произведения. В тоже время она сохраняет многие хорошие свойства исходной категории — например, у каждого многообразия по-прежнему есть фундаментальный класс. Оказывается, что в категории производных гладких многообразий можно определить пересечение (intersection product) не на гомологическом уровне, как это делается в обычной категории, а на уровне самих подмногообразий, при этом пересечение будет функториальным. В частности, можно пересечь подмногообразие с самим собой и получить информацию, которая обычно получается путем (нефункториальной) трансверсальной деформации одного из элементов пары. Производные многообразия позволяют заменить весь аппарат трансверсальных деформаций на более концептуальный. Применение такого пересечения к конструкциям вроде класса Эйлера и им подобным позволяет получить не просто класс в гомологиях, а конкретное (производное) подмногообразие.

В первой части семинара мы сосредоточимся на разборе диссертации и статьи Спивака, посвящённых производным гладким многообразиям, по прочине того, что в них, в отличии от работ Лури, содержатся полные доказательства. После этого будет сделан обзор производной алгебраической геометрии.

Литература

Часть 2: Операды

Операды были первоначально введены Питером Меем в 1970-х годах для исследования бесконечнократных пространств петель. С тех пор они распространили своё влияние на большую часть современной математики. На семинаре будут разобраны основы теории и рассмотрены основые примеры в алгебре, геометрии и топологии.

Литература

Зима 2008–2009

«Многоликая К-теория»

Список докладов семинара

26 декабря 2008 года, 18:00, аудитория 402, Дмитрий Павлов. Видеозапись лекции.
Введение в суперсимметричные эвклидовы квантовые теории поля, формулировка основных теорем.
29 декабря 2008 года, 15:00, аудитория 106, Максим Карев. Видеозапись лекции.
Квантовые теории поля размерности 0|0 и их семейства.
12 января 2009 года, 18:00, аудитория 311, Александр Иванов. Видеозапись лекции.
Расслоения Гротендика и стеки.
16 января 2009 года, 18:00, аудитория 203, Александр Иванов. Видеозапись лекции.
Суперсимметричные эвклидовы квантовые теории поля размерности 0|1.

Участники семинара

Описание семинара

В 1957 году Александр Гротендик ввёл группу классов алгебраических векторных расслоений над алгебраическими многообразиями. Он назвал эту группу К-группой, где буква K является первой буквой немецкого слова Klassen (классы). Майкл Атия и Фридрих Хирцебрух немедленно поняли, что эту конструкцию можно применить к векторным расслоениям над произвольным топологическим пространствам, в результате чего получается коммутативное кольцо, сложение и умножение в котором соответствуют прямой сумме и тензорному произведению векторных расслоений. Через год Рауль Ботт доказал свою теорему периодичности, одним из проявлений которой является совпадение всех К-групп сфер чётной размерности, а также и нечётной размерности. Атия и Хирцебрух поняли, что эта теорема позволяет превратить К-теорию в обобщённую теорию когомологий (в современной терминологии — просто теория когомологий), которая сразу была использована для решения множества задач, например для определения максимального количества линейно независимых векторных полей на сфере.

Поскольку категория всех теорий когомологий является гомотопической категорией категории спектров, имеет смысл вести разговор на языке спектров. Так, например, обычной теории когомологий соответствует спектр Эйленберга—Мак Лейна, составленный из пространств Эйленберга—Мак Лейна. Для К-теории существует множество способов описать её спектр:

На семинаре будут разобраны все эти модели и доказана их эквивалентность. Особый интерес представляет последняя модель. Известно, что в суперразмерности 0|1 эвклидовы квантовые теории поля дают обычные когомологии, а в суперразмерности 1|1 — К-теорию. Под суперсимметричной эвклидовой квантовой теорией поля в данном случае понимается функтор из некоторой категории бордизмов супермногообразий в некоторую категорию векторных пространств. Основная гипотеза программы Тайхнера-Штольца заключается в том, что суперразмерности 2|1 соответствуют топологические модулярные формы. Мы рассмотрим случаи суперразмерностей 0|1 и 1|1, дав таким образом введение в программу Тайхнера-Штольца.

Для понимания семинара необходимо владение простейшими понятиями теории категорий (категория, функтор, естественное преобразование), алгебраической топологии (гомотопическая группа, группа гомологий и когомологий, теории когомологий, спектры), гильбертовых пространств (неограниченный самосопряжённый оператор). Семинар доступен студентам 2–3 курса.

Литература

Лето 2008

«Гомотопическая и симплициальная математика»

Список докладов семинара

23 мая 2008 года, 11:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Определение модельной категории и его интуитивный смысл на примере топологических пространств и цепных комплексов.
26 мая 2008 года, 19:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Определение гомотопической категории модельной категории. Примеры. Фибрантные и кофибрантные объекты. Цилиндры и объекты путей. Левая и правая гомотопия. Их свойства.
28 мая 2008 года, 19:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Тождественность слабых и гомотопических эквивалентностей между фибрантно-кофибрантными объектами. Основная теорема теории гомотопических категорий. Производные функторы, левые и правые функторы Квиллена, пары Квиллена и их производные пары, эквивалентности Квиллена.
2 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Сергей Иванов.
Трансфинитные композиции, относительные клеточные комплексы.
4 июня 2008 года, 19:00, аудитория 106, Сергей Иванов.
Модельная структура на категории топологических пространств.
9 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Сергей Иванов, Алексей Пак.
Кофибрантно порождённые модельные категории. Симплициальные множества, комплексы Кана, гомотопические группы.
11 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Алексей Пак.
Симплициальные произведения и пространства функций. Симплициальные гомотопии. Расслоения Кана. Модельная структура на категории симплициальных множеств.
16 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Алексей Пак.
Модельная структура на категории симплициальных множеств.
23 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Александр Иванов.
Модельная структура на категории комплексов.
25 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Александр Иванов.
Модельная структура на категории комплексов.
30 июня 2008 года, 19:00, аудитория 203, Александр Иванов.
Модельная структура на категории комплексов комодулей над алгеброй Хопфа.
2 июля 2008 года, 19:00, аудитория 502, Александр Павлов.
Модельная структура на категории коммутативных и некоммутативных дифференциально градуированных алгебр.
7 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Максим Карев.
Моноидальные категории, сопряжения от двух переменных, сопряжения Квиллена от двух переменных.
9 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Максим Карев.
Моноидальные модельные категории.
14 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Святослав Пименов.
Оснащения на модельных категориях.
16 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Святослав Пименов.
Структура модуля над гомотопической категорией симплициальных множеств для гомотопической категории модельной категории.
21 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Святослав Пименов.
Надстройка и пространство петель.
23 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Святослав Пименов.
Расслоённые и корасслоённые последовательности и их свойства.
28 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Симметрические спектры.
30 июля 2008 года, 19:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Замкнутая моноидальная симметрическая структура на симметрических спектрах. Кольцевые симметрические спектры.
4 августа 2008 года, 19:00, аудитория 203, Дмитрий Павлов.
Гомотопические группы симметрических спектров.
6 августа 2008 года, 19:00, аудитория 203, Александр Иванов.
Предтриангулированные категории и их свойства.
11 августа 2008 года, 19:00, аудитория 203, Александр Иванов.
Триангулированные категории в смысле Хови и их свойства.

Участники семинара

Часть 1: Модельные категории

Модельные категории, введённые в 1967 году Квилленом, в настоящее место проникли во многие области современной математики и играют там важную роль.

Квиллен обобщил различные конструкции в теории гомотопий (гомотопическая категория, расслоения и корасслоения), гомологической алгебре (производная категория, резольвенты) и симплициальной теории гомотопий, что позволило сформулировать все эти теории на едином языке. Тем самым, как только нам удалось ввести модельную структуру на категории, мы сразу можем говорить о теории гомотопий в этой категории. Например, такие конструкции, как производная категория в гомологической алгебре и гомотопическая категория в теории гомотопий являются частным случаем гомотопической категории модельной категории.

Типичными примерами модельных категорий являются категории топологические пространств, цепных комплексов, спектров, симплициальных множеств, симплициальных предпучков, малых категорий и даже теорий гомотопий — теперь мы можем говорить о теории гомотопий теории гомотопий! Модельные категории играют существенную роль в алгебраической геометрии, что наглядно демонстрируют работы Воеводского, за которые он получил медаль Филдса.

Семинар является введением в теорию модельных категорий. Прежде всего будет рассмотрено определение модельной категории, дано его интуитивное обоснование и рассмотрены основные примеры, перечисленные выше. Также будет установлена эквивалентность по Квиллену некоторых из этих примеров.

Для понимания первой части семинара необходимо и достаточно владения простейшими понятиями теории гомотопий (гомотопическая группа, слабая эквивалентность, расслоение Серра) и простейшими понятиями теории категорий (категория, функтор, естественное преобразование, сопряжённые функторы). Семинар доступен студентам 2–3 курса.

Литература

Часть 2: Стабильная теория гомотопий и теории когомологий

Классическая теория когомологий сформировалась в работах Пуанкаре, Александера, Колмогорова и других математиков. В 1945 году Эйленберг и Стинрод дали аксиоматическое описание когомологий. Атия и Хирцебрух отметили в 1960 году, что К-теория и кобордизм удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга-Стинрода, исключая аксиому, задающую когомологии точки.

В дальнейшем было найдено много других примеров, а такие функторы стали называть обобщёнными теориями когомологий (в дальнейшем — просто теориями когомологий). В частности, в 1980-х годах были построены эллиптические когомологии, в 1990-х — тесно связанные с ними топологические модулярные формы. Современное определение теории когомологий — это функтор из гомотопической категории подходящей модельной категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп.

На сегодняшний день К-теории и теории кобордизмов (включающие в себя стабильные гомотопии и когомотопии) остаются основными классами теорий когомологий, для которых есть геометрическое описание. Из кобордизмов алгебраическими методами строятся когомологии Брауна-Петерсона и К-теории Моравы, применяемые в конкретных вычислениях в алгебраической топологии.

Теории когомологий тесно связаны со спектрами — основным объектом стабильной теории гомотопий. Один из способов смотреть на спектр состоит в том, чтобы рассматривать его как объект категории, похожей на гомотопическую категорию, в которой, однако, функтор надстройки обратим. Подобно тому, как в теории гомотопий обратимость слабых эквивалентностей позволяет отбросить лишние детали и сосредоточиться на интересующих нас свойствах, обратимость функтора надстройки в стабильной гомотопической категории позволяет отбросить ещё больше деталей и сосредоточиться на самых существенных свойствах пространства. Важность спектров объясняется тем, что ещё в 1940-х годах стало известно, что обычная когомология в фиксированной градуировке является представимым функтором. Представляющие пространства называются пространствами Эйленберга-Мак Лейна, и их совокупность как раз и образует спектр. Факт обратимости функтора надстройки в стабильной гомотопической категории выражается в том, что в когомологии взятию надстройки соответствует сдвиг градуировки (который, очевидно, обратим). Позднее Браун доказал, что любая теория когомологий представляется спектром, более того, категории спектров и теорий когомологий эквивалентны.

После введения нескольких различных видов спектров (и соответствующих стабильных гомотопических категорий) основной задачей алгебраических топологов стал поиск подходящего определения спектра, так, чтобы соответствующая стабильная гомотопическая категория обладала хорошими свойствами, в частности, соответствующим образом определённое скрещённое произведение спектров являлось ассоциативным и коммутативным.

Долгое время такое определение найти не удавалось, однако в 1990-х годах появилось сразу несколько подходов: S-модули Мея, симметрические спектры Смита, ортогональные спектры, F-спектры и другие.

Семинар является введением в теорию когомологий и спектров. В частности, будут рассмотрены современные подходы и их эквивалентность, там, где она имеет место. Также будет подробно рассмотрено важное понятие ориентируемости спектров (и теорий когомологий). Особое внимание будет уделено комплексно-ориентируемым теориям когомологий. После этого планируется перейти к теории спектров Тома, кобордизмов и формальных групп.

Для понимания второй части семинара необходимо и достаточно владения простейшими понятиями обычной теории когомологий (определение гомологий и когомологий, точность, вырезание, последовательность Майера-Виеториса) и теории категорий (категория, функтор, естественное преобразование, сопряжённые функторы). Семинар доступен студентам 2–3 курса.

Литература

Часть 3: Эллиптические когомологии, топологические модулярные формы, конформная теория поля и программа Тайхнера-Штольца

В 1980-х годах Ландвебер, Равенель и Стонг построили алгебраическим способом на основе комплексных кобордизмов новые теории когомологий — эллиптические когомологии, параметризованные эллиптической кривой. В 1990-х годах Хопкинс и Миллер построили топологические модулярные формы — теорию когомологий, которая в некотором смысле является универсальной для всех эллиптических когомологий, хотя сама такой не является.

Ещё в конце 1980-х Сигал высказал предположение, что двумерные конформные теории поля, которые он определил как функторы из категории бордизмов в категорию векторных пространств, могут дать геометрическую интерпретацию эллиптических когомологий при помощи определённых им эллиптических объектов. Ожидается, что эта геометрическая интерпретация поможет пролить свет на природу эллиптических когомологий (которые играют важную роль в современной физике), подобно тому, как геометрические интерпретации К-теории и кобордизма являются основным инструментом этих теорий. В дальнейшем Тайхнер и Штольц развили и улучшили определение эллиптического объекта, в частности они заменили эллиптические когомологии на топологические модулярные формы и расширили определение конформной теории поля по Сигалу, включив в него алгебры фон Неймана, в результате чего эта деятельность стала называться программой Тайхнера-Штольца. И хотя этот подход к геометрическому объяснению эллиптических когомологий не единственный, он считается самым перспективным.

Семинар является введением в эллиптические когомологии, топологические модулярные формы, суперсимметричные теории поля по Сигалу, Тайхнеру и Штольцу и собственно программу Тайхнера-Штольца. Семинар доступен студентам 3–4 курса.

Литература

Зима 2007–2008

«Хроматическая топология»

На семинаре обсуждались обобщённые теории когомологий, комплексные кобордизмы, формальные группы, К-теория Моравы, хроматическая спектральная последовательность и связанные с ними понятия топологии.

22 декабря 2007 года
Владимир Котов: Red Ravenel, 1.1.
23 декабря 2007 года
Владимир Котов: Red Ravenel, 1.2, 1.3.
25 декабря 2007 года
Владимир Котов: Red Ravenel, 1.3.
27 декабря 2007 года
Дмитрий Павлов: Kono-Tamaki, Обобщённые теории когомологий и спектры.
29 декабря 2007 года
Дмитрий Павлов: Orange Ravenel, Спектры.
2 января 2008 года
Дмитрий Павлов: (тема утеряна).
3 января 2008 года
Дмитрий Павлов: (тема утеряна).
5 января 2008 года
Владимир Котов: p-типичные формальные законы; Дмитрий Павлов: BP-теория.
8 января 2008 года
Дмитрий Павлов: теорема Ландвебера о точном функторе и К-теория Моравы.
10 января 2008 года
(Докладчик и тема утеряна.)
12 января 2008 года
Владимир Котов: Хроматическая спектральная последовательность; Дмитрий Павлов: (тема утеряна).
15 января 2008 года
Дмитрий Павлов: Хроматическая спектральная последовательность.

Участники семинара

Литература