Линейная алгебра и элементарная геометрия. Введение.

Перевод Л. А. Калужнина.

Предлагаемая книга содержит полное и подробное изложение понятий и теорем элементарной линейной алгебры, которые должны были бы составлять необходимый минимум знаний бакалавра наук * в момент его поступления в пропедевтические классы * высшего учебного заведения. Общее направление книги и объем собранного в ней материала служат цели подготовить студента к тому, чтобы он мог как можно легче воспринять обучение в пропедевтических классах по современной системе. Это обучение должно ему казаться естественным продолжением предшествующей учебы.

В настоящее время вряд ли найдется даже один среди тысячи бакалавров, способный без дополнительной помощи и упорной работы прочесть данную книгу. Это достаточно характеризует несогласованность программ курсов математики в средней и высшей школе. Уже ряд лет наблюдается серьезная тревога по поводу все увеличивающегося разрыва между методами и духом преподавания математики в средних школах (лицеях), с одной стороны, и в университетах — с другой. Я сам участвовал в дискуссиях, посвященных этой проблеме. При этом я убедился, что даже среди преподавателей средней школы, наиболее понимающих необходимость реформ, царит полная неясность в вопросе о том, на каких принципах должна основываться новая программа, как обеспечить ее внутреннюю согласованность, с одной стороны, и связи с программами высшей школы— с другой. Моя книга фактически предназначена для этой категории читателей. Она задумана как «книга для учителя», как твердый скелет, на который можно наращивать системы устного преподавания, рассчитанные на соответствующие коллективы учеников.

К тем же преподавателям доброй воли обращаются и последующие комментарии. Я заранее прошу прощения у тех университетских коллег, в руки которых попадет эта книга. Они, возможно (и с полным правом!), обвинят меня в том, что я ломлюсь в открытую дверь, причем делаю это к тому же с совершенно ненужным шумом. В свое оправдание скажу, что дверь эта, видимо, открыта не для всех.

Математики предыдущих столетий, а в еще большей мере философы и очеркисты, писавшие о математике, слишком хорошо преуспели в том, чтобы внедрить в сознание «культурного» общества образ застывшей и неизменной науки, восседающей на Олимпе «абсолютных истин» и благочестиво передаваемой от поколения к поколению без изменения в ней хотя бы одной буквы. Эта наука якобы не знает мук поиска и неясностей бедных наук, называемых «экспериментальными». Уже более ста лет тому назад математики-профессионалы освободились от столь наивных амбиций, но, видимо, понадобятся многие годы упорного труда, чтобы повсеместно прикончить подобные штампы: нет ничего более трудного, чем выкорчевывание «внедрившихся идей».

Источник недоразумения состоит в следующем. Действительно, теоремы, доказанные 2000 лет тому назад, верны сегодня в той же мере, как и в момент их открытия, между тем как «экспериментальные истины» возникают всегда лишь как некоторые приближения к действительности, нуждающиеся в постоянном усовершенствовании. Но то, что в математике, как и во всякой пауке, меняется — это точка зрения, с которой рассматриваются ранее полученные результаты, причем, как и во всех науках, такие изменения происходят в настоящее время с возрастающей скоростью. Если отвлечься от несущественных признаков, то развитие математики ничем не отличается от развития других наук: новые открытия и их обсуждения приводят к необходимости переосмысливания старых теорем, к необходимости исследовать их взаимное отношение в свете новых теорий с тем, чтобы вписать их самым рациональным образом в новый контекст. Собственно для математики при этом характерно, что при подобных периодических переворотах сами теоремы остаются в целостности, а не распадаются на более точные. Они не могут быть опровергнуты более совершенной экспериментальной техникой, как это происходит с самыми твердо установленными «фактами» физики и биологии. Зато с величественного пьедестала «основных теорем» они зачастую спускаются в подчиненное положение «следствий», все менее и менее значительных, чтобы закончить свое существование в кладовке «упражнений», оставляемых для. тренировки учащегося. Осознание этого установившегося исторического процесса развития должно привести математика-профессионала к более скромному пониманию своей роли: возможно, что открытия, которые ему иногда стоили стольких усилий и которыми он, вполне естественно, хотел бы гордиться, рискуют превратиться и дальнейшем в игрушки для школьников будущих поколений.

Университетское образование не может, конечно, себе позволить слишком долго не замечать перестройку здания математики: иначе оно рискует потерять всякую эффективность и даже право на существование. Но до совсем недавнего времени какая-либо переплавка, затрагивающая основы традиционно сложившегося среднего образования, не наблюдалась. Обучение математике «по Евклиду» было неплохой подготовкой к дальнейшим занятиям математикой для современников Виета или даже для современников Коши. Конечно, за два столетия, отделяющие этих двух математиков, объем математических знаний существенно возрос и появились новые мощные методы исследования. Но эти методы не требовали иных основных идей, кроме пространства и числа в той форме, как они были заложены еще древнегреческими геометрами. Сегодня положение коренным образом изменилось. Существенная тенденция современной математики, проявившаяся примерно за последнее столетие, состоит в расчленении этих «общих идей» при помощи далеко идущих абстракций, подобно тому как физики расщепляют сегодня атомы, объявленные древними «неразложимыми». Я думаю, что нет необходимости останавливаться на том, что математики делают это не из-за любви к схоластике, побуждающей их «резать волос на четыре части» — как многие себе упорно представляют, — а потому, что в продуктах, полученных при таком разложении, они нашли орудия, о мощности которых их предшественники не могли и подозревать. С помощью этих орудии современные математики успешно справились с многочисленными проблемами, не поддававшимися усилиям многих предшествующих поколений.

На протяжении всего этого времени среднее математическое образование, которое по самой своей природе удалено от уровня современных исследований, с незначительными добавками оставалось там, где оно находилось до Грассмана и до Кантора, то есть на уровне геометрии Евклида, алгебры Виста и Декарта и — в последних классах лицея — начал анализа. Следует ли после этого удивляться тому, что ров между этим образованием и тем, чему учат в университете, все время расширялся? Я прошу вас беспристрастно посмотреть на следующие темы, занимающие большое место в школьной математике:
I. Задачи на построение «циркулем и линейкой».
II. Свойства «традиционных» фигур, таких, как треугольники, четырехугольники, окружности и системы окружностей, конические сечения... — все это со всеми изощрениями, накопленными поколениями «геометров» и преподавателей в поисках подходящих экзаменационных задач.
III. Весь псалтырь «тригонометрических формул» и их калейдоскопических преобразований, позволяющих находить великолепные «решения» «задач» на треугольники и — пожалуйста, имейте, это в виду — «в форме, пригодной для логарифмирования»!

Если вы теперь откроете наугад любую книгу, трактующую какую-либо область, изучаемую в высшем учебном заведении, то вы сразу заметите, что ни в одной из них нет ни малейшего упоминания всей этой роскоши. Если иногда случайно и встретится коническое сечение, то оно исследуется (если это необходимо) так же, как и всякая другая кривая, — общими методами анализа. Что же касается других «фигур», дорогих сердцам геометров предыдущих поколений, то они просто растворились в небытие. Конечно, можно возразить, что университетское обучение слишком абстрактно и что то, чему учат в средней школе, будет куда «полезней», скажем, будущему инженеру. Действительно, случается, что пилоны некоторых металлических конструкций покрыты целыми каскадами треугольников, как это бывает возможно заметить на хороших фотографиях. Но спрашивается, важнее ли при этом для конструктора знать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, или же овладеть принципами теории сопротивления материалов? Конечно, тригонометрические формулы совершенно необходимы для представителей трех очень почтенных профессий:
1° для астрономов;
2° для геодезистов;
3° для составителей учебников тригонометрии.
С другой стороны, легко назвать сотни других, не менее почтенных профессий, для которых из области тригонометрии вполне достаточно того, что содержится на трех-четырех страницах этой книги. Кроме того, можно ли рассматривать накопление частных, более или менее разрозненных познаний для подготовки ко всевозможным профессиям целью среднего образования? Не лучше ли попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий с тем, чтобы в дальнейшем технические навыки смогли с легкостью надстраиваться в «хорошо подготовленные головы».

Согласен, скажете вы, пусть теоремы, которым учат школьников, предназначены для того, чтобы в дальнейшем быть забытыми; однако, упражняясь на этих искусственных примерах, они познакомятся с методами исследований и приобретут навыки мышления, которые в дальнейшем окажут им большую помощь. На это опять-таки можно ответить, что сказанное, несомненно, было правильным в эпоху, предшествующую Декарту, но оно устарело уже для современников Ньютона. Действительно, следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, следуя по извилистым и иногда темным путям, зачастую через 50—100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. Всеобще известным примером такой ситуации является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощренные умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям. Что хуже известно — и для чего, в частности, и написана настоящая книга — это то, что в результате работ Грассмана, Кэли и других более чем столетней давности и в элементарной геометрии открылся, по образному выражению Г. Шоке *, «королевский путь». Отправляясь от очень простых аксиом — в отличие от сложных аксиом Евклида — Гильберта, — можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников, чтобы во чтобы то ни стало свести задачу к священным случаям «равенства» или «подобия» треугольников — к единственной основе всей традиционной техники Евклида. Непосвященному такое явление может показаться удивительным. Специалист-математик давно уже освоился с подобным положением дел и знает, что замена одной системы аксиом другой — эквивалентной, но лучше подобранной — зачастую приводит к значительным упрощениям. Я ограничусь следующим вопросом: что же полезнее — излагать ученикам теории, где все естественно укладывается вокруг нескольких простых ключевых идей, которые, кроме того, будут основными и в их дальнейшей учебе, или же, напротив, оставить их лицом к лицу с неподходящим аппаратом, который им нужно будет забыть, как только они его освоят? #.

Другая характерная черта современных математических методов — слишком хорошо известная, чтобы на ней останавливаться, — состоит в том, что они позволяют перегруппировать согласно глубокому родству теории, существенно отличающиеся одна от другой при поверхностном взгляде. Но нигде, кроме как в системе традиционного обучения, разграничение дисциплин не достигло уровня, анекдотичность которого вряд ли может быть превзойдена. В последних классах средней школы, в подготовительных классах «больших школ» * (а также в ряде заграничных университетов) можно встретить следующие «науки»:
«Синтетическую геометрию»,
«Аналитическую геометрию»,
«Тригонометрию»,
«Проективную геометрию»,
«Конформную геометрию»,
«Неевклидову геометрию»,
«Теорию комплексных чисел». #

Эти дисциплины не только излагаются изолированно друг от друга, но зачастую игнорируют все остальные и настаивают на своей «независимости». Смехотворные споры между сторонниками «синтетической» и «аналитической» геометрии кажутся нам сегодня столь же схоластическими, как средневековые дискуссии о том, каков пол ангелов, — а ведь в XIX столетии они заполняли целые тома! Начиная примерно с «Эрлангенской программы» Ф. Клейна стало ясно, что под этим конгломератом «наук» прошедших времен скрывается одна-единственная дисциплина — линейная алгебра современной математики. Эта дисциплина, конечно, охватывает классическую теорию линейных уравнений, но со своими современными разветвлениями (выходящими далеко за пределы программы лиценциата) * стала также одной из центральных и наиболее плодотворных теорий современной математики, причем теорией, богатой самыми разнообразными применениями к теории чисел или к теоретической физике, затрагивая по пути анализ, геометрию и топологию. Мне кажется, что целесообразно как можно раньше ознакомить начинающего с основными понятиями этой дисциплины и научить его «мыслить линейно». Это тем более просто, что в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и понятие линейного преобразования. В наш век бурного роста всех наук все, что объединяет их и концентрирует, трудно переоценить. Что же касается перечисленных выше «псевдонаук», то нужно надеяться, что забудется достаточно скоро само их существование (и даже их названия!) — и чем скорее это произойдет, тем лучше. #

К обсужденным трем пунктам, представляющим, на мои взгляд, общий интерес (непрерывность обучения, раннее ознакомление с современными методами, унификация преподаваемых дисциплин), я хотел бы добавить два замечания, которые, поскольку они касаются только математиков, я хочу изложить в несколько иной плоскости. Меня можно было бы обвинить в том, что, говоря о среднем образовании, я главным образом думаю о будущих математиках, между тем как они образуют только одну из многих почтенных профессиональных корпораций, некоторые из которых я упоминал выше, наверное, даже менее многочисленную, чем геодезисты. Поэтому я со всей серьезностью хотел бы подчеркнуть, что, по моему мнению, среднее образование не предназначено для формирования будущих математиков (ни даже для подготовки будущих учителей математики!). Именно традиционное образование забывает эту основную истину, ибо иначе трудно себе представить, как появились там такие прелестные игрушки, как окружность девяти точек * или шары Данделена *, по поводу которых так подробно и умилительно распространяются: для кого, как не для будущего математика, могут они предназначаться?

Указав на это и обращаясь теперь к преподавателям математики, я должен заметить, что одно из преимуществ линейной алгебры именно в том и состоит, что она позволяет изложить элементарную геометрию с полной строгостью и совсем просто, между тем, как хорошо известно, аксиоматические системы, предложенные в конце прошлого столетия и тесно следующие традициям Евклида, столь сложны и тонки, что они практически не могут быть изложены ранее чем на старших курсах университета. # Отсюда возникает столь болезненная для математиков необходимость учить своих учеников только псевдорассуждениям, не выдерживающим даже поверхностной критики. Я думаю при этом, в частности, о невероятных недоразумениях и паралогизмах, возникающих уже для столь простого понятия, как «угол», когда он рассматривается с традиционной точки зрения, меж тем как с точки зрения линейной алгебры это есть не что иное, как основной параметр в группе вращений плоскости.

Последнее мое замечание относится к одному аспекту современной математики, в некотором смысле дополнительному к объединительной тенденции — к ее способности разъединить то, что неоправданно смешивалось. Я думаю здесь в первую очередь о различии, ясно осознаваемом со времен Понселе, между геометрическими свойствами «аффинного» и «метрического» характера. С точки зрения логики особенное смущение возникает, когда уже в самом начале евклидовой геометрии оба типа свойств смешивают в одну кучу. Типичным примером является то, что такие различные понятия, как параллельность и перпендикулярность, трактуются в одном плане. Ясно, что в линейной алгебре это различие выявляется просто и легко: оба типа свойств зависят соответственно от двух групп аксиом, разделенных с самого начала; тем самым и их следствия естественно развивать и толковать раздельно. Некоторым такое подчеркивание «чистоты» рассуждений может показаться излишним и педантичным. Я со своей стороны считаю, что во всех случаях важно как можно лучше понимать то, что ты делаешь: большое воспитательное значение для рассудка имеет поиск экономии средств и приспособление гипотез к заключениям.

После этих общих рассуждений я хочу дать несколько комментариев к тому, в каком духе и согласно какому плану задумана настоящая книга. Само собой разумеется, что я полностью порвал со всеми традициями и приноравливался исключительно к той области, в которую должно вливаться среднее математическое образование, то есть к программам университетов и политехнических институтов. То, что к этим программам отношения не имеет, было безжалостно изъято из текста, а зачастую даже и из упражнений. Напротив, я старался как можно раньше ввести понятия, которые будут основными на пропедевтических курсах высшей школы, — такие, как линейное отображение (или оператор), полилинейное отображение, собственные значения оператора, группа или кольцо операторов. Верный вышеприведенному принципу не отдавать преимущества пожеланиям и потребностям одних лишь математиков, я старался излагать только такие понятия, которые имеют бесспорно большое значение для прикладной математики и для теоретической физики. Более глубокие результаты, представляющие интерес только для будущих математиков, перенесены в упражнения. С другой стороны, я пытался противиться искушению вводить преждевременно теории, излагаемые в университете. Мне кажется, что в этом смысле природа нам, к счастью, предначертала естественную «демаркационную линию», снабдив нас геометрической интуицией для пространств размерности 2 и 3. Так как все явления линейной алгебры, ограниченные этими размерностями (и, конечно, областью вещественных скаляров), могут быть представлены на чертеже, то я строго придерживался этих ограничений, кроме двух исключительных случаев, о которых скажу несколько позже. Конечно, внутри этих границ всякий раз, когда встречается более общее понятие, я не колеблюсь называть его своим настоящим именем: нет ничего более глупого, чем страх перед словами. # Но я хочу подчеркнуть, что при этом совсем не предполагаю, что раньше или в данном месте излагается какая-либо общая теория этих понятий. Напротив, по моему мнению, речь идет о том, чтобы представить эти понятия ученику в некотором смысле экспериментальным образом. Иными словами, природа снабдила нас замечательной лабораторией, в которой можно ознакомиться с представленными простыми конкретными образами, частными случаями ряда понятий, сущность которых куда более обща, но также и более абстрактна и которые в этой общей форме могут быть восприняты только значительно позже. Было бы досадно не воспользоваться наилучшим образом такой прекрасной возможностью.

Два исключения в этом направлении, которые я себе позволил, относятся к тем разделам аффинной и евклидовой геометрий, которые не зависят от размерности. Мне кажется, что, имея в виду читателя, к которому я обращаюсь, имеет некоторый смысл подчеркнуть эту независимость. Я уже не говорю о том, что было бы недопустимо повторять рассуждения дословно на протяжении многих страниц, нагружая их различными и совсем ненужными дополнительными условиями. Но я охотно соглашусь с тем, что для школьников действительно нужно ограничиться фиксированной размерностью 2 или 3 и повторить рассуждение при переходе от одной размерности к другой. Те изменения, которые при этом нужно внести в текст, вполне очевидны, да и относятся они исключительно к словесным формулировкам.

Я позволил себе не включить в текст ни одного чертежа хотя бы уже для того, чтобы показать их необязательность; однако читатель, при желании, легко восполнит сам этот недостаток.

К различным разделам основного текста я добавил многочисленные темы для упражнений. Они предназначены, в частности, для того, чтобы показать преподавателям, что в этом отношении разделы современной математики ничем не уступают классическим. Если основные теоремы стали столь просто доказуемы, что можно было бы опасаться, что они в меньшей мере возбуждают интуицию и творческие способности самых одаренных учеников, то достаточно сделать лишь несколько шагов в сторону, чтобы встретить задачи, требующие столько же таланта, как и самые трудные классические экзаменационные и конкурсные проблемы. Я старался включить в упражнения как можно больше фрагментов обширных теорий, далеко выходящих за рамки основного курса, чтобы дать некоторое представление о том, какого рода проблемы ставят себе современные математики. Впрочем, главным образом я хотел дать материал для размышлений — и именно поэтому я говорю о «темах для упражнений», а не собственно об упражнениях. В моем представлении, они предназначены для возможных изменений, перестроек и обогащений возводимого в основном тексте здания в зависимости от намерений потребителя.

Наконец, я поместил в книгу несколько Добавлений, предназначенных для того, чтобы расширить познания преподавателей относительно некоторых вполне классических вопросов, которые зачастую не рассматриваются в университетских курсах. Разумеется, не может быть и речи о включении в программу обучения в собственном смысле этого слова вопросов, трактуемых в Добавлениях. Но, на мой взгляд, они могут помочь преподавателю посмотреть па эту программу с более подходящей точки зрения. В Добавлениях я не старался излагать все с самого начала, как я это делал в основном тексте (последний действительно не предполагает предварительных познаний, по крайней мере с точки зрения логики). Здесь же я иногда отсылаю к другим работам, содержащим нужные мне результаты; некоторые рассуждения я только намечаю.

Легко видеть, что программа, развиваемая в книге, относится к двум-трем последним классам лицея. Остается выяснить, как ее вписать в общую программу курса математики, начиная с шестого класса, * — и это с двух точек зрения: во-первых, что нашей программе должно предшествовать и, во-вторых, как должна эта часть курса математики соотноситься е той частью курса, которая ориентирована на (математический) анализ. По поводу первого вопроса я могу высказать только некоторые «вольные мысли» ввиду моей полной некомпетентности в вопросах реакций детей возраста 11 — 14 лет. Мне кажется, что цель состоит в том, чтобы побороть две психологические трудности: 1° нужно достичь того, чтобы ученик убедился в необходимости аксиоматической трактовки математики; 2° нужно как можно раньше приучить его к постоянным действиям с абстрактными понятиями. Здесь самым трудновоспринимаемым мне кажется понятие отображения (или «преобразования»), но, может быть, еще труднее воспринимается исчисление отображений. Как в первом, так и во втором пункте дело действительно касается несущих опор всего здания современной математики, и все обучение в первые годы должно быть подчинено освещению этих идей. О том, как этой цели достигнуть, я не знаю ничего, владея здесь лишь некоторыми самыми общими и достаточно смутными идеями. Само собой разумеется, что для этого необходим длительный экспериментальный контакт с основными понятиями, которые в дальнейшем будут аксиоматизированы. Но этого недостаточно, так как, кроме того, у ребенка нужно выработать своего рода условные рефлексы, направляя его экспериментирование в «нужную» сторону, с тем, чтобы его внимание не отклонялось и не заводило бы его в тупики, сколь ярко бы традиция ни освещала эти тупики. Так, было бы желательно как можно раньше освободить ученика от смирительной рубашки традиционных фигур, упоминая их как можно реже (за исключением, конечно, таких, как точки, прямые и плоскости), и пользоваться вместо этого геометрическими преобразованиями всей плоскости или всего пространства. Далее, конечно, нужно научить ребенка искусству геометрических построений, но при этом следует как чумы избегать этого воплощенного анекдота классического обучения — ограничения набора допустимых инструментов лишь циркулем и линейкой. # Напротив, нужно приводить как можно больше примеров механических чертежных инструментов, позволяющих осуществлять самые различные конструкции или — еще лучше — преобразования плоскости (пантограф, аффиннограф и так далее).

Что касается деликатной проблемы введения «аксиом», то мне кажется, что на первых порах нужно вообще избегать произносить само это слово. С другой же стороны, не следует упускать ни одной возможности давать примеры логических заключений, которые куда в большей мере, чем идея аксиом, являются истинными и единственными двигателями математического мышления. В первую очередь нужно убедить учащегося в том, что из предположений, допущенных по какой угодно причине и происхождение которых никак не учитывается, пользуясь исключительно одними рассуждениями, можно вывести другие предложения. В целом преподавание в средних классах школ должно состоять из хорошо продуманной смеси умело выбранных «геометрических опытов» и частных рассуждений относительно результатов таких опытов: по аналогии с обучением физике и химии, это должно составить своеобразную «физику пространства». Выше я уже сказал, почему я сам не в силах реализовать такую задачу; однако я убежден, что ее решение возможно; имеются значительные и многообещающие попытки в этом направлении, например, у наших бельгийских соседей. #

В отличие от сказанного, я являюсь решительным противником того, что можно было бы назвать «методом предварительного возведения лесов». Под тем предлогом, что система аксиом линейной алгебры слишком абстрактна, хотят сперва ввести другую систему аксиом, славящуюся большей доступностью, и уже из нее вывести аксиомы линейной алгебры. В общем, это то, что сделал Гильберт в своих замечательных работах по основаниям геометрии, взяв за отправную точку аксиомы Евклида, дополненные должным образом. Все знают, что подобная задача намного превосходит возможности среднего образования. Отсюда возникли попытки найти «компромисс» между построением Евклида — Гильберта и «голой» аксиоматикой линейной алгебры; самая известная среди них — это система аксиом, недавно предложенная Г. Шоке. * Эта аксиоматика весьма остроумна и свидетельствует о незаурядном таланте автора; тем не менее я считаю ее ненужной и даже вредной. Такой подход был бы оправдан, если бы понятия, лежащие в основе аксиом евклидовой плоскости — сложение векторов, умножение вектора на скаляр, скалярное произведение векторов, — были бы слишком абстрактны и труднопредставимы на чертеже. Однако все знают, что это не так, — и нескольких месяцев работы с миллиметровой бумагой должно быть достаточно, чтобы приучить ученика к этим действиям и привести его к допущению, что можно построить алгебро-геометрическое здание на свойствах, правильность которых легко проверяется на опыте. Но тогда, спрашивается, зачем же перегружать память так называемыми аксиомами, которые затем нужно будет забыть? В действительности мы здесь являемся свидетелями странного явления сентиментальной привязанности к традиционной системе аксиом, более распространенной среди профессиональных математиков, чем это на первый взгляд может показаться, причем она наблюдается даже на уровнях, далеко превосходящих элементарную геометрию. # Я не ставлю себе задачу объяснить такое явление.

Линейная алгебра — это только одна из основных структур современном математики. Другая — это топология, которую тоже следует вводить в систему образования как можно раньше. На уровне среднего образования, мне кажется, разумно ограничиться в этом направлении (как это уже довольно давно делается) элементами анализа; практическое значение этого раздела трудно переоценить. На мой взгляд, ознакомление с анализом следует начинать еще раньше и придавать ему еще большее значение. Инженеры и физики не без основания жалуются, что сегодняшние студенты, сдавшие лиценциат, «не умеют больше вычислять», понимая под этим то, что они недостаточно ловки в элементарных процедурах дифференциального и интегрального исчисления. Это явление легко объяснить, если подумать о том, какой объем абстрактных понятий должен сегодня усвоить студент-математик в университете: у него остается слишком мало времени для овладения чисто механическими процедурами теории функции одной переменной (вычисление производных, первообразных, разложения в ряды, интегрирование простейших дифференциальных уравнений, построение кривых в декартовых и полярных координатах и тому подобным). Я не вижу ничего, что могло бы препятствовать перенесению всем этой техники в 2—3 последних класса лицея. # Здесь опять-таки дело идет о действиях над объектами, «предстающими» конкретным образом на каждом шагу, и о естественном продолжении практики построения графиков, которую в связи с ее важностью во всех областях с полным правом вводят очень рано. # Единственное условие, которое здесь нужно соблюдать, состоит в том, чтобы трактовать эти вопросы исключительно в том же «экспериментальном», я бы сказал «физическом», плане, который я предлагаю для геометрии. На этом уровне, всякая попытка строгой трактовки принесет, несомненно меньше пользы, чем вреда. В лучшем случае она могла бы лишь опираться на устаревшую «эпсилон-технику», и, кроме того, она может явиться предметом забот лишь для чистых математиков. Впрочем, никто не мешает преподавателю при всяком удобном случае повторять и подчеркивать, что правила исчисления бесконечно малых допускают такие же строгие доказательства на основе аксиом теории вещественного числа, как и теоремы геометрии. Но здесь, как и повсюду, нужно освободить обучение математике от суеверия, что все любой ценой должно быть сведено к единому аксиоматическому источнику. Математики-профессионалы имеют веские основания стремиться к такому положению вещей, но эти основания касаются только их. Что, напротив, имеет всеобщее значение — это умение осуществлять правильные логические выводы из посылок, которые вовсе не обязаны обладать генеалогическим древом, восходящим к теории множеств.

Я еще потому остановился на вопросе введения в анализ, что оно должно, по моему мнению, охватить два традиционных раздела «геометрии», которым в геометрии делать нечего: исчисление длин, площадей и объемов и «измерение» углов. Первое — это, конечно, интегральное исчисление, и непонятно, как через 300 лет после Кавальери подобным вопросам можно учить на основе техники «исчерпывания» Евдокса — Архимеда. Что же касается «измерения» углов, то оно достойным образом вписывается в общую царящую здесь неразбериху. Математик-профессионал (с того момента, как он понял, что природа совсем даром снабдила его группой вращений плоскости — замечательным примером бесконечной группы, обладающей элементами любого конечного порядка) может воспринимать лишь как беспросветную глупость попытки любой ценой затемнить этот основной факт и стараться «измерить» неизмеряемое, ввести «порядок» там, где его нет, и делать вид, что прямая помнит о том, что она повернулась на 26π после того, как она вернулась в исходное положение; вы увидите в этой книге, что то, что действительно относится к евклидовой геометрии, с точки зрения алгебры совсем не зависит от измерения углов вещественными числами. Я даже пошел по такому пути, что выбранные мною аксиомы не позволяют доказать существование такой «меры» (смотри Добавление II). Конечно, с того момента, когда мы переходим к анализу или к кинематике, существование непрерывного канонического гомоморфизма θ→e^iθ аддитивной группы R (вещественных чисел) на мультипликативную группу U (группу вращений) приобретает огромное значение. Но так это и нужно излагать (причем в анализе!), а не стараться как будто нарочно поддерживать существующую неразбериху.

Надеюсь, что мне поверят, если я в конце отмечу, что, вмешиваясь в вопросы среднего образования, я не преследую никакой личной выгоды. От того, где и когда произойдет реформа образования и какие принципы будут положены в ее основу, мне не холодно и не жарко. Я хотел только добавить для архивов будущего историка некоторый материал о том, как при этом можно было бы поступать, если стремиться действовать разумно.

Примечания автора.

Преподаватели физкультуры в подобных случаях не колеблются, когда дело идет, скажем, о плавании: они обучают сразу современному стилю «кроль», более эффективному, чем старые стили.

Я уже не говорю о «начертательной геометрии» — чистой технике черчения: ей, к счастью, ныне уже отводят подобающе скромное место.

Кстати, необходимо как можно быстрое освободить термин «аналитическая геометрия»: он, несомненно, наилучший возможный для обозначения одного из самых живых и глубоких разделов современной математики, а именно для того раздела, в котором изучаются «аналитические многообразия». Такое наименование отвечало бы названию «алгебраической геометрии», в которой изучаются «алгебраические многообразия».

Я хорошо знаю, что исследования Гильберта и его учеников по аксиоматике и основаниям геометрии имели в историческом плане огромное значение для прояснения общего понимания того, что представляет собой математика, и привели к новым важным открытиям — таким, как неархимедовы поля и недезарговы плоскости, — но ведь все это далеко от среднего образовании и даже от университетского курса первого и второго цикла. *

Само собой разумеется, что я свободно и повсеместно (и без всяких пояснений) пользуюсь обычной теоретико-множественной терминологией. Я думаю, что все соглашаются сейчас с тем, что этот язык необходимо ввести в обучение, начиная со средних классов школы.

Автор этой плохом шутки неизвестен; некоторые комментаторы древности приписывают ее (без убедительных доказательств) Платону. Я, конечно, хорошо знаю, что, размышляя над задачами на построение циркулем и линейкой, великие математики (начиная с Гаусса) сделали ряд первоклассных открытий. Большинство математиков так уж созданы, что они обожают ставить перед собой явно никому не нужные задачи («великая теорема Ферма», «гипотеза Гольдбаха», «разрешимость уравнений в радикалах» и так далее) и при этом, если они талантливы, извлекают из этих задач настоящие чудеса. Но математики сами умеют находить подобные задачи и — повторяю это еще раз — целью среднего образования не является подготовка будущих математиков.

Смотри в первую очередь книгу Ж. Папи, Современная математика, тома 1—3 (G. Papy, Mathématique moderne), Bruxelles—Paris, 1963—1967, а также статью Ж. и Ф. Папи в Journées d'études, №22, Bruxelles, 1962. [Русский перевод 1-го тома «Современной математики» Ж. Папи готовится к изданию издательством «Просвещение». В последующих томах той же книги, в первую очередь в томах 3 и 6, частично реализована идея «чисто векторного» построения школьного курса элементарной геометрии. — Редактор.]

В качестве примера приведу следующее. Несколько лет тому назад вышел том «Элементов» Н. Бурбаки, посвященный теории интеграла. Известным американский математик П. Халмош был шокирован и воспринял как скандал то, что Н. Бурбаки взял в качестве определений ряд традиционных теорем, а бывшие определения вывел из них как теоремы. В данном случае такая критика была особенно удивительна, так как она исходила от автора, весьма компетентного в вопросе о том, что такое логическая эквивалентность.

Необходимое время для таких упражнении нетрудно найти после упразднения уроков, посвященных «построениям» циркулем и линейкой, «решениям» треугольников и прочим ненужным забавам.

Любопытно, что по вопросу о введении анализ в элементарное обучение куда легче договориться, чем по «опросу о реформе преподавания геометрии. По-видимому, анализ — этот выскочка — не может пользоваться теми же прерогативами почти священного характера, которыми ввиду своей древности пользуется геометрия Евклида со всеми ее традициями.

Это удачно приводит к тому, что теория не становится «полной» или «категоричной» (то есть определенной аксиомами с точностью до изоморфизма); тем самым нарушается одно из самых нелепых требований классической математики.

Примечания переводчика.

Во Франции окончившие среднюю школу сдают перед специальной государственной комиссией экзамен (baccalauréat), соответствующий нашему экзамену на аттестат зрелости. Абитуриент, успешно сдавший экзамен, получает ученую степень бакалавра (bachelier). Предусмотрены различные типы бакалавров: естественных наук, гуманитарных наук, технических наук.

В результате реформы высшего образования, проведенной в последние годы, университетское образование по Франции разделено на 3 цикла: 1-й цикл называется пропедевтическим; 2-й цикл заканчивается экзаменом, называемым лиценциатом (он примерно соответствует нашему государственному экзамену); 3-й цикл посвящен более узкой специализации и в некоторой мере соответствует нашей аспирантуре.

Смотри Г. Шоке, Геометрия; «Мир»; 1970.

Для большинства французских высших учебных заведений — к ним относятся и университеты — вступительные экзамены не предусмотрены: степень бакалавра (для математики — бакалавра естественных наук) является необходимым и достаточным условием для поступления в вуз. Но имеется ряд специализированных высших учебных заведений, называемых «большими школами» (Grandes Écoles), принимающих только строго ограниченное число студентов; для поступления в эти вузы предусмотрены конкурсные экзамены. К «большим школам» относятся среди других такие всемирно известные учебные заведения, как Политехническая школа, Школа мостов и дорог и, особенно прославившаяся среди математиков, Нормальная школа в Париже. Программа конкурсных экзаменов по математике и физике в «большие школы» включает материал, далеко выходящий за рамки программ средних школ по математике: здесь, например, требуются значительные знания и навыки по анализу, дифференциальным уравнениям, проективной геометрии и так далее. Для прохождения соответствующих разделов курса математики и приобретения навыков в решении конкурсных задач предусмотрены специальные подготовительные классы; впрочем, для участия во вступительных конкурсах посещение подготовительных классов не обязательно.

Окружность, проходящая через середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот от точки их пересечения до вершин.

Имеется в виду известное элементарно-геометрическое доказательство того, что плоские сечения прямого кругового конуса представляют собой эллипсы, параболы и гиперболы (смотри, например, Энциклопедию элементарной математики, книгу 5 (геометрия), «Наука», 1966, страницы 559—565).

Во французских лицеях нумерация классов противоположна той, которая принята у нас: старший класс считается первым, предпоследний — вторым и так далее. Шестой класс по возрасту соответствует приблизительно нашему пятому, а первый — десятому. В 6-м, 5-м, 4-м и 3-м классах программы общие для всех учащихся. Во втором и первом вводится довольно резкая специализация: в гуманитарных классах курс математики весьма ограничен, а в естественнонаучных и технических — сильно расширен и углублен.